一些仙人球尤其是那些星形的。它们周围螺旋状的小凸起和脊状突起并非随意排列它们通常遵循黄金角大约137​​.5°这种螺旋规律也出现在向日葵的种子荚、松果和菠萝鳞片上。每个新的生长点都比前一个生长点旋转一个精确的角度。神奇的是这个角度也并非随意设定。从某种意义上说它是最无理数最难用简单的分数来近似表示。如果植物的生长点采用90°角那么它们最终会排列成列彼此之间会有空隙。黄金角特指的就是这种永远不会重复的旋转角度因此植物的生长点永远不会排列整齐从而在给定的空间内以最小的重叠度容纳最多的叶子或种子。仙人球上的螺旋纹路并非装饰。这是一种由进化发现的打包算法可以用一个缓慢旋转的无理数来表示。而菠萝尤其容易看出这一点因为可以直接数出来。观察菠萝的表面可以找到三组方向不同的螺旋线。通常一个方向是 8另一个方向是 13第三个方向是 21。这些数字并非随机8、13 和 21 是连续的斐波那契数而斐波那契比率正是用分数不断逼近黄金角所得到的。同样的规律在一种水果上以两种方式同时展现相邻鳞片之间的旋转角度以及可以用手指数出来的螺旋线数量。两者都是同一个无理数只是从两个不同的角度观察而已。π 和 e 的出现是因为它们本身就是无理数。π 存在于任何具有旋转或圆形对称性的事物中例如轨道、波、涟漪e 存在于任何持续增长或衰减且与其自身大小成比例的事物中例如人口、放射性衰变、电容器充电。它们并非“被选择”出来的而是自然而然地从几何学或微分方程中“流露出来”。没有 π圆就不可能存在。黄金角则不同它并非由几何学强制产生而是被“选择”出来的。原则上植物可以利用相邻叶片之间的任何旋转角度。大多数角度最终都会导致叶片排列整齐。一列叶片彼此堆叠浪费下方的光照或空间。只有那些难以用有理数近似的角度才能避免这种情况而黄金角在这方面表现最佳。所以进化并非发现一个始终存在的常数而是在无数种可能的角度中最终收敛于解决堆积问题的唯一角度。因此无理数在自然界中既以必然性π、e——一旦有了圆或增长就无法避免它们的形式出现也以最优解黄金角——在无限多种选择中的最佳答案而无理数正是它成为最佳答案的原因的形式出现。机制不同表现形式相同。